Cálculo de áreas y equilibrio estático de bóvedas de cañón con lunetos

Antecedentes

En las construcciones antiguas, el empleo del arco representa uno de los elementos estructurales más utilizados para cubrir desde espacios pequeños a grandes. Desde el siglo X se construyeron bóvedas de cañón recto sin ninguna abertura y posteriormente se fueron agregando ventanales, como en la figura 1a) y bóvedas de arista como en la figura 1b). Los arcos fajones representan el apoyo transversal y permiten dividir la bóveda en segmentos cortos. La simbiosis de la bóveda de cañón con lumbreras y la bóveda de arista puede aceptarse como la base para la construcción de la bóveda de cañón con lunetos, en donde las lumbreras se prolongan perpendicularmente como una intersección de dos bóvedas de cañón.

El diseño estructural de estas estructuras masivas, se basó en principios de estática y geometría y entre los firmes defensores de este enfoque se cuenta con Santiago Huerta (2004). Además, los modelos con elementos finitos exigen la adopción de hipótesis físicas de un material poco conocido (Meli, 1998), lo que motiva el desarrollo del presente análisis.

Introducción

Las bóvedas de cañón con lunetos, por lo general con arcos de medio punto, se forman por la intersección perpendicular de dos de ellas (figura 2). Para que corresponda a bóveda con lunetos los diámetros entre una y otra bóveda son diferentes o al menos, deben estar a diferente altura. Cuando los diámetros son iguales y arrancan desde el mismo nivel se puede obtener una bóveda de arista.

La figura 2 muestra una maqueta con dos bóvedas de diámetros diferentes que parten del mismo nivel. En la figura 3 se muestra el caso más común, donde los lunetos tienen una longitud pequeña que se extiende hasta el paño de los muros como en la figura 4, que corresponde al templo de San Pedro y San Pablo en Ecatzingo, Estado de México. Se trata de lunetos similares a los de la figura 3. Obsérvese que el arco extremo de los lunetos tiene una cuerda de dimensión menor a su diámetro, caso que se estudiará en este trabajo. En ese templo, la bóveda delgada próxima a la cúpula colapsó. Se perdió también gran parte del muro lateral, la fachada y el campanario.

Objetivo

En este trabajo se presentan ecuaciones para calcular el volumen de estos dos tipos de bóvedas; con lunetos y de arista. Las ecuaciones se comprueban analíticamente para el segundo caso por tratarse de una comparación directa. Posterior a ello se aplican en forma particular a un proyecto de restauración actual.

Materiales y métodos

Cálculo de áreas

Para desarrollar las ecuaciones, se requieren algunas consideraciones geométricas, como las dadas en las figuras 5 y 6. En la primera se trata de un luneto con su arranque desde el diámetro pero a una altura diferente h, mientras que en 5, además de la condición anterior, el arranque del luneto puede estar a otra altura aún mayor h". El diferencial de área vertical dA permite obtener el área del luneto y el diferencial horizontal dA’ permite obtener el área que se elimina de la bóveda de cañón.

La geometría de base incluye, por lo general, la cuerda y la flecha de la bóveda del cañón y del luneto. Esta cuerda no coincide, en muchas ocasiones, con el diámetro como se vio en la figura 4, por lo que se necesita calcular el radio para ambos casos, esto es R y R2 con la ecuación general (1).

en donde x es media cuerda y z la flecha. De acuerdo a la figura 4, x’ y y’ serían x y z en la ecuación (1) respectivamente. En las figuras 5 y 6 los círculos de la izquierda corresponden a la bóveda de cañón y los de la derecha al luneto. En el caso de la bóveda de arista, en ambas direcciones son bóvedas o son lunetos, según se prefiera nombrar.

Para calcular la superficie del luneto se integrará el diferencial de área dA= l’·dx, mientras que para obtener el área que se extrae de la bóveda se integrará el diferencial dA’= x’·dy. Obsérvese que se usan diferenciales diferentes para cada caso. dA se hace depender de x, y dA’ se hace depender de y.

Para calcular el arco l’ del luneto que se forma a la distancia x (círculo izquierdo) se obtendrá x’ (círculo derecho) y así obtener el ángulo θ’. Dado que se conoce el radio, ya sea dato o se haya calculado con la ecuación (1), la longitud depende del ángulo θ’.

De las figuras anteriores,

Por lo tanto se puede expresar l>’ en términos de x como,

Utilizando las ecuaciones (6) y (1), se puede reescribir x’ como,

Por lo anterior se tiene:

Para el correcto uso de las integrales, es necesario definir los límites x_i y x_f de modo que para el primero x_i’=0 y para el segundo x_f’=cuerda a la altura h” de donde arranca el luneto. Si los ejes de los diámetros están a la misma altura y además, el luneto arranca desde esos ejes, h=h”=0 y x_i’=0, x_f’=R2. Para ello,

Para los límites yi y yf se tiene:

Primera validación

Para verificar los resultados de las ecuaciones (10) y (11), tómese una bóveda de arista como la mostrada en la figura 7. A_L es el área del luneto a calcular, A_h es el área a eliminar por la intersección de las bóvedas y A_B es el área completa de la bóveda en una dirección sin lunetos. Para este caso R=R₂=5.25m y h=h”=0m.

De las ecuaciones (12) y (13), xi=0.0m, x_f=5.25m y de las ecuaciones (14) y (15) y_i=0, y_f=5.25m. Como comprobación, de la ecuación (7) debe verificarse que x_i’=0 y x_f’=R₂. Ahora de las ecuaciones (10) y (11) :

Esto es, A_L=31.46514751456868m², Ah=55.125m².

Comprobación

Para probar los resultados anteriores se calculará el área de la bóveda A_B hasta donde termina el luneto (figura 7), es decir, a media bóveda, esto es:

Si a A_B se resta el área A_h, debe resultar el área del luneto A_L, entonces:

Lo remarcable de las ecuaciones (10) y (11) es que no muestran diferencia en el cálculo de A_Lcon la ecuación (16). Otra comprobación más del cálculo de A_L, se puede encontrar en Salinas y Costa (2017), en donde ½·A_L para λ=5.25 se obtiene por:

Nuevamente se obtiene un resultado con diferencia despreciable respecto a la ecuación (10), que a su vez, confirma la validez de la ecuación (11). Se ha exagerado en el número de decimales para probar la exactitud de las ecuaciones propuestas.

Segunda validación

Un segundo ejercicio se hace para un nuevo radio R=3.6m. Como se seguirá considerando una bóveda de arista, los diámetros para ambas bóvedas serán iguales y los lunetos arrancan desde el mismo nivel. Por ello R=R₂=3.6m, h=h”=0m, por lo que a partir de las ecuaciones (12) a (15) x_i=y_i=0, x_f=y_f=3.6m. Retomando las ecuaciones (10) y (11) se tiene,

Entonces, A_L=14.7950407906m2, Ah=25.92m².

Comprobación

El área de la bóveda es:

Calculando nuevamente el área del luneto con la diferencia del área de la bóveda menos el área hueca (ecuación 16), se tiene,

Puede verse que al valor de AL coincide con el calculado con la ecuación (10). Si se aplica nuevamente la ecuación (17), ahora con λ=3.6m, se tiene:

Entonces, la ecuación (10) o la ecuación (16) dan el mismo resultado que la ecuación (17) tomada como referencia. Es importante aclarar que la ecuación (17) sólo es aplicable a lunetos completos que arrancan desde el diámetro de su arco extremo. En este trabajo, las ecuaciones ofrecen solución a bóvedas de arista o bóvedas con lunetos, como los de la figura 2.

Resultados y Discusión

Estudio de caso

Una vez revisadas las ecuaciones propuestas, se aplicarán a la bóveda del templo de San Juan en Malinalco, Estado de México. En la figura 8, se aprecian los arcos cubiertos con lona, que sirven de apoyo a las bóvedas ortogonales. La altura de los arcos de la nave principal tienen una altura ligeramente mayor a la de los arcos laterales. Esto se indica en la figura 9. En la figura de la izquierda se representa la bóveda de cañón, quien va en el sentido longitudinal y a la derecha de ella se muestra el luneto, es decir, la vista lateral del templo.

Para los datos del proyecto, se encontró R=4.159m y R₂=3.1m. Además h=0.759m y h”=0.25m. Todos los valores anteriores se ajustaron lo mejor posible a los levantamientos topográficos disponibles y tratando de evitar inconsistencias. Obsérvese que el luneto no arranca desde su diámetro. Esto exige que el luneto se integre desde una altura mayor a la de su diámetro y en consecuencia, x_f tampoco abarca todo el radio R. Por lo anterior, ahora no es posible, como comprobación, obtener el área del luneto restando las áreas huecas al área de la bóveda, ya que eso sólo es válido para las bóvedas de arista. A partir de aquí sólo se usarán tres decimales, ya que para un caso real resulta inapropiado conservar más de tres decimales.

Los límites para las integrales son:

y los límites y_i y y_f son:

Área del luneto A_L y área de la intersección A_h,

De donde A_L=11.237m2 y A_h=16.848m2. El área de la bóveda de cañón con los huecos provocados por la intersección de los lunetos es:

Donde I_B es el arco de la bóveda que se obtiene con la ecuación (19) y el ángulo con la ecuación (20) a partir de h" (figura 9).

La longitud de la bóveda l es de 6.18m (figura 9), por lo que A_B=68.086m2, de modo que de la ecuación (18), A_B-A_h=34.39m₂. El área total de la bóveda con lunetos es de 56.864m₂.

Equilibrio estático

Si se toma un segmento de bóveda de cañón o un casquete de cúpula en donde se conozca su peso, la reacción vertical en sus bordes debe ser igual al peso de esa sección (figura 10).

Para determinar el peso de cualquiera de las secciones mostradas en la figura 10, se requiere conocer su geometría, lo que indica que en cualquier corte se puede determinar la tangente en todo punto a la altura z. La longitud de arco para la bóveda es un tema trivial, así que puede ser de mayor interés incluir las ecuaciones para obtener el área del casquete cilíndrico de la figura 10.

Conocida el área A, el volumen se obtiene multiplicándola por el espesor t y a su vez, el peso W se obtiene multiplicando por el peso volumétrico del material γ_m (ecuación 23),

La reacción vertical V se obtiene dividiendo el peso entre la longitud de apoyo, la cual se obtiene directamente de la sección cortada. Con esto, se puede obtener la fuerza tangencial T y la fuerza horizontal H para cualquiera de los casos anteriores:

Este principio se aplica a la sección que se quiera analizar en el templo de San Juan. Una vez determinada el área de la bóveda, incluyendo los lunetos, se propuso un espesor de 0.2m con tezontle del lugar (Miramontes, 2021). Para este material se obtuvo un peso específico de 1.735T/m³, por lo que el peso propio total es 19.732Ton. En la figura 11 se incluyen tres muestras utilizadas para calcular el peso del material y en la tabla 1 se muestran los resultados para el peso seco y el peso húmedo. Además del peso propio, la bóveda recibe carga adicional debida a los materiales de recubrimiento y acabado. La tabla 2 describe los pesos por metro cuadrado a considerar en el análisis de la bóveda.

Para evaluar el apoyo que ofrece el luneto al resto de la bóveda se debe obtener el peso del luneto aislado y calcular su centroide por medio del teorema de Varignon. Para esto se requiere calcular el momento estático dado por:

El resultado de la ecuación (26) se divide entre al área del luneto y se obtiene la distancia Ẋ. Para obtener Ẋ, simplemente se toma la diferencia con el radio de la bóveda de cañón. Es importante agregar que el luneto no es el único que ofrece apoyo a la bóveda, ya que también se genera una función de arco en el área A_h (ver figura 7).

De (21) resulta ẊA_L=35.113m³, con lo que Ẋ=3.125m. Esto indica que la resultante o peso del luneto más el peso de los materiales, está a ẋ=0.89m desde su extremo. Si el peso total es,

se genera, en el punto más alto, una fuerza horizontal H_L=1.599Ton provocada por el giro del luneto. La figura 11 muestra una maqueta en donde se relacionan las distancias de la resultante W_L al centro de la bóveda y al extremo del luneto.

De la figura 8 se obtienen los valores de V, T y H para el arco que se forma al punto más alto del luneto, de modo que con las ecuaciones (22) a (25) se tiene: θ=21.895°, W=1.575Ton, T=2.112Ton y H=1.960Ton. Para el punto más bajo del luneto se tienen θ=75.96°, W=5.465Ton, T=2.816Ton y H=0.683Ton. El promedio de H=1.322Ton es inferior a la HL total del luneto. Obsérvese que la compresión (fuerza tangencial T) aumenta conforme se desciende en el arco de la bóveda mientras que la fuerza de coceo H se reduce. Para arcos completos de medio punto H=0. Si se toma un ancho unitario de la bóveda y el máximo valor de T puede verse que el esfuerzo de compresión es muy bajo, es decir,

σ es inferior a la capacidad a compresión común en mampostería de piedra, que es muy próxima a 20kg/cm2 (2.0MPa) según las Normas Técnicas Complementarias para el diseño y construcción de estructuras de mampostería o según algunos resultados experimentales (NTC, 2020; Mauricio, 2021).

Conclusiones

Se propusieron nuevas ecuaciones para calcular el área de bóvedas con lunetos y a través de este valor, calcular el peso propio y las fuerzas que se generan a lo largo de su geometría. Las ecuaciones se validaron para el caso de bóvedas de arista comparándolas en forma directa e indirecta por medio de una ecuación para lunetos completos, obteniendo una diferencia despreciable y después se aplicaron en un caso real. Por lo anterior, el objetivo principal de este trabajo se considera logrado.

Conocida el área de la bóveda se calcula el peso de la misma y por medio de principios básicos de equilibrio se determinan las fuerzas para un proyecto actual de reconstrucción en un templo en el Estado de México.

De los resultados obtenidos se concluye que los esfuerzos por peso propio son inferiores a la capacidad nominal del material para un caso estático, lo cual concuerda con el concepto y diseño para este tipo de estructuras.

Agradecimientos

A CONACER Constructores S.A. de C.V., CAV Diseño e Ingeniería, ArqCOM Arquitectos, Laura Hurtado Arq., Sergio Román Arq., Restauración Arquitectónica y otros, por la invitación como calculista a más de una decena de proyectos de intervención.

Referencias